Somme di radici di numeri razionali.

Dimostriamo che se n ∈ ℕ con n>1 la somma 1+√2+…+√n è irrazionale.

Per farlo proviamo il seguente fatto più generale:

Dati m1,…,mk in R⁺ tali che √m1 + … + √mk ∈ ℚ —> √mj ∈ ℚ per ogni j=1,…,k.

Questo proverebbe che se la somma 1+√2+…+√n ∈ ℚ allora , ad esempio, √2 ∈ℚ che è falso.

Prima di partire ricordiamo che un sottocampo L di R non è altro che un campo con le operazioni di R ristrette a L. Inoltre ricordiamo che se β sta in R allora il sottocampo generato da β su L è il sottocampo di R dato da L(β)={x+βy: x,y ∈ R}

Partiamo con il seguente:

Teorema:

Sia L un sottocampo di R e siano m1,…,mk in L positivi tali che √m1 + … + √mk ∈ L—> √mj ∈ L per ogni j=1,…,k.

Dim:

Proviamo l’asserto per induzione su k. Se k=1 non c’è nulla da dimostrare. Supponiamo quindi la tesi vera per k-1 e dimostriamola per k. Abbiamo che √m1+…+√mk = q con q in L segue che
√m1+…+√m(k-1) = q – √mk ∈ L(√mk) da cui , per ipotesi induttiva, √mi ∈ L(√mk) per ogni i=1,…,k-1. Segue che √mi=ai+bi√mk con ai,bi in L. Ora, se esiste un bi √mi ∈ L (infatti in generale se √a + √b ∈ L —> √a – √b = (a-b)/(√a+√b) ∈ L—> 2√a ∈ L —> √a ∈ L —> √b∈L) . Se invece tutti i bi ≥0 allora definiamo a=a1+…+a(k-1) e b=b1+…+b(k-1) da cui k= √m1+…+√mk=a+(b+1)√mk —> √mk ∈ L Quindi troviamo sempre un √mi in L e quindi per ipotesi induttiva concludiamo che ogni √mj ∈ L. □

Corollario:

Dati m1,…,mk in R⁺ tali che √m1 + … + √mk ∈ ℚ —> √mj ∈ ℚ per ogni j=1,…,k.

dim:

Immediato dal teorema anteriore con L=ℚ. □