Automorfismi di ℚ(√2)

Ricordiamo che ℚ(√2) = {x+y√2, x,y∈ℚ} e questo è un campo con le operazioni:

(a+b√2)+(a’+b’√2)=(a+a’)+(b+b’)√2
(a+b√2)(a’+b’√2)=(aa’+2bb’)+(ab’+ba’)√2

Un automorfismo di ℚ(√2) è una mappa
φ: ℚ(√2) —> ℚ(√2) bigettiva tale che ∀ A,B∈ ℚ(√2) risulta:

φ(A+B)=φ(A)+φ(B)
φ(AB)=φ(A)φ(B)

TEOREMA

Tutti gli automorfismi del campo ℚ(√2) sono dati da:
F:ℚ(√2) —> ℚ(√2) , x+y√2|—> x+y√2 e
G:ℚ(√2) —> ℚ(√2) , x+y√2|—> x-y√2

DIMOSTRAZIONE:

Chiaramente F e G sono automorfismi di ℚ(√2) (semplice verifica). Vediamo ora che se φ è un automorfismo di ℚ(√2) allora φ=F o φ=G. Abbiamo:

1) φ(0)=0.

Infatti φ(0)=φ(0+0)=φ(0)+φ(0) —> φ(0)=0.

2)φ(1)=1

Infatti φ(1)=φ(1*1)=φ(1)² —> φ(1)=0 o φ(1)=1. Ma poiché φ(0)=0 e 1≠0 segue che φ(1)=1.

3)∀ n ∈ ℕ φ(n)=n

Infatti se n=0 allora è vera per 1) se n∈ℕ positivo allora φ(n)=φ(1+…1)=nφ(1)=n.

4)∀ z ∈ ℤ φ(z)=z

Infatti se z è naturale segue da 3) se z=-n con n ∈ℕ positivo allora φ(z)=φ(-n)=φ(-1)φ(n)=φ(-1)n. Proviamo ora che φ(-1)=-1. Di fatto 0=φ(1-1)=φ(1)+φ(-1) —> φ(-1)=-φ(1)=-1.

5)∀ q ∈ ℚ φ(q)=q

Infatti se q=a/b con a,b in ℤ e b≠0 allora φ(q)b=φ(q)φ(b)=φ(a)=a —>φ(q)=a/b.

6)φ(√2)=√2 oppure φ(√2)=-√2

Infatti 2=φ(2)=φ(√2)² .

Allora se x+y√2 ∈ ℚ(√2) si ha che:

i) Se φ(√2)=√2 allora
φ(x+y√2)=φ(x)+φ(y)φ(√2)=x+y√2 —> φ=F

ii)Se φ(√2)=-√2 allora
φ(x+y√2)=φ(x)+φ(y)φ(√2)=x-y√2 —> φ=G

segue la tesi. □