0 varietà topologiche

CLASSIFICAZIONE DELLE 0-VARIETÀ TOPOLOGICHE

Ricordiamo che una varietà topologica di dimensione n∈ℕ (detta anche n-varietà topologica) è uno spazio topologico (M,τ) tale che sia:

1) N2 (cioè che ammetta una base numerabile ovvero che esista B⊆τ numerabile tale che ∀ V∈τ V è unione di elementi di B )
2) T2 (cioè che ∀x,y ∈ M con x≠y esistono U,V ∈ τ tali che x ∈ U , y∈V e U∩v=Ø )
3) Localmente euclideo di dimensione n (cioè ∀ p ∈ M ∃ U ∈ τ con p ∈ U tale che U≅IRⁿ)

Esempi di varietà topologiche sono IRⁿ( varietà topologica di dimensione n) oppure la sfera Sⁿ ( è una n-varietà) e il toro di equazione (√(x²+y²) -5)²+z²=9 (è una 2-varietà).

Siamo interessati a classificare a meno di omeomorfismi le varietà topologiche di dimensione zero.

Per farlo ricordiamo che se X è un insieme non vuoto l’insieme P(X) definisce una topologia su X detta topologia discreta. Inoltre se (X,T) è uno spazio topologico tale che ∀ x in X {x}∈T allora T=P(X). Infatti se V⊆X si ha che V è unione degli {x} al variare di x in V quindi è unione di aperti e quindi V∈T. Siamo pronti per dimostrare il seguente:

TEOREMA: (CLASSIFICAZIONE DELLE 0-VARIETÀ TOPOLOGICHE)

Sia (M,τ) una 0-varietà topologica. Allora:

(M,τ)≅(IN,P(IN)) ∨ (M,τ)≅({1,…,n},P({1,…,n)) per qualche n∈IN⁺.

Dimostrazione:

Iniziamo ad osservare che τ=P(M). Per vederlo è sufficiente vedere che preso p in M {p} ∈ τ. Siccome (M,τ) è localmente euclideo di dimensione 0 esiste un aperto V di M che contiene p tale che V≅IR⁰ ma |IR⁰|=1 quindi V={p} —> {p} è aperto —> τ=P(M). Adesso distinguiamo due casi:

a) se |M|=n ∈ IN⁺ allora una qualunque bigezione tra M e {1,…,n} definisce un’ omeomorfismo tra (M,τ) e ({1,…,n},P({1,…,n})) essendo τ la topologia discreta.

b) se M non è finito allora dimostriamo che è numerabile. Siccome (M,τ) è N2 ammette una base numerabile B. Ora { {x} : x ∈ M } ⊆ B perchè se x ∈ M allora {x} è unione di elementi di B segue che un elemento di B coincide con {x} e quindi {x}∈B. Allora { {x} : x∈M} è infinito numerabile da cui si deduce che | M | = I IN |. Allora esiste una bigezione tra M e IN e questa definisce un omeomorfismo tra (M,τ) e (IN,P(IN)) essendo τ la topologia discreta. □